数学课堂的数学味
作者:富源县大河镇脑上小学 杨 波
在几年来的教学实践与探索中，我始终注重数学课堂的数学味研究，在教学中不断挖掘、呈现、彰显数学内容自身的数学味。下面举几则案例，谈谈自己的一点教学体会。
一、“交换律”一课的教学实践。如果单纯地由具体现实情境引出3+6=6+3，并引发学生形成猜想：“是否任意两数相加，交换位置后和都不变?”进而引导学生通过举例，试图验证猜想，并最终得出相应的结论。虽然这个教学过程轮廓清晰，思路泾渭分明，探讨的主要问题也基本在数学范畴内展开，但不能充分体现数学课堂的数学味。我们要做更进一步的思考，即数学课堂上的数学味显然不应该仅停留在表层，应该注重数学内容、数学方法及数学思想的实质等更里层问题的探讨。从而，在试图对本课进行重新梳理时，下述问题自然就成了我关注的兴奋点：“由仅有的一个例子鼓励学生提出猜想是否适宜?”“什么是数学上的不完全归纳法?”“对四年级学生来说，试图用不完全归纳法获得结论，举出多少个例子比较合适?”“例子越多越好吗?”“怎样的例子是好的例子，怎样的例子是不好的例子?”“举例验证猜想时，我们要不要关注反例?反例对猜想意味着什么?”进而，“举例的过程仅仅是一个模仿与复制的过程，还是一个主动思考并进行试探与甄别的过程?”“经由不完全归纳法所给出的能不能算作结论?如果不算，小学课堂该不该引入必要的证明?”在具体的教学语境中，好的数学味一定还伴随着必要的儿童视角和立场!
二、“分数的意义”一课的教学实践。一节经典的老课，教学线索与理路也基本定型。但在试图对数学内涵进行深入梳理时，不经意间却被几个小问题所梗住：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份或几份的数是分数，这是分数意义的形式化表达，可这里的单位“1”究竟是什么?数学上，为什么我们把这些平均分的对象叫做单位“1”，而不是别的什么名称，比如整体“1”或是对象“1”?称其单位“1”究竟只是一种纯粹的数学规定，还是另有其数学的合理性?进而，与百分数不同的是，分数既可以表示两个量之间的倍比关系，还可以表示一个具体的数，用数学上的专业术语来讲，分数既有其无量纲性，同时还具有量纲性。事实上，理解到这一点，对于未来学生更深入地理解分数的实质，以及对分数直接进行大小比较(不提供直观图的情况下)、分数和小数的互化以及理解分数乘除法实际问题的数量关系等，无疑具有重要的意义。然而，反观各版本教材，在安排这一内容时所选择的素材与呈现的情境，仍局限在“部分与整体的关系”这单一的维度，即分数的无量纲性上，分数始终只是在“把整体看作1时，其中的一部分如何用数学符号来表征”的情境下得以呈现的，而其所理应具备的有量纲性的一面，却未能在具体的教学编排中得到相应的体现。事实上，由无量纲性向着有量纲性的跨越对学生来说是有一定的难度的，默认这种跨越可以自然而然地生成，实际上缺乏理论的支撑，在实践层面也不具备说服力。此外，教材在编排分数意义这一内容时，似乎对如何更好地沟通分数、1及整数之间的关系也缺乏必要的关注，从而，“分数的意义”一课在许多时候还只停留在就分数论分数的层面，对于如何促进学生更好地形成有关数的整体认知图景，还缺乏相应的实践指导。
由此，笔者执教这一内容时，由对单位“1”的探讨引入：先引导学生认识“1”这个数的包容性，即所谓“1个梨可以看做1，3个梨也能看做1，6个、12个梨同样能看做1”。然后经由讨论，使他们进一步理解到，一旦在某一语境下，我们将3个梨看做了“1”，那么，6个或12个梨通常就不再看做“1”，而应该看做“2”或“4”了。理由很简单，3个梨既已看做“1”，6个梨中包含2个这样的“1”，当然就是“2”，12个梨亦然。事实上，在上述情境及过程中，我们已然发现，3个梨所构成的“1”其实已经成为一个计数或计量的单位，此时，称其为单位“1”已是自然而然的事了。
三、“平均数”一课的教学实践。作为反映一组数据整体水平的一种统计量，平均数与众数及中位数既有相似之处，又有明显的不同。无疑，如何将平均数置于统计的角度来审视，并努力开掘出其应有的统计意义与价值，当是这节课首要关注的问题。教材多采取“比较”的情境，由于“两组人数不均的小组开展相应比赛，比总数不公平，所以应比平均每人的个数”，由此引入平均数。但在备课过程中，随着思考的不断深入，新的问题不断涌现。首先，作为一个重要的统计学概念，平均数是否首先或主要地源自于比较的现实需求?其次，“平均每人投中的个数”和“每人投中个数的平均数”之间是否可以直接画上等号?再者，平均数既是统计学中的一个重要概念，那么，其诞生理应处于一个统计的活动背景之中，这是比较合理的一种预期。为此，设计教学时，我微调了教材中的情境结构，通过呈现如下的活动序列，将平均数重新置于统计背景下，并力图还原其作为“一组数据的代表”的角色与身份，再现平均数的本来面目。
老师和小明、小红、小强进行一分钟投篮赛，以每分钟进球多少论胜负。
小明先投，结果一分钟仅投中5个，他不满意自己的成绩，提出想再投两次的要求。老师该不该同意他的要求?经过讨论并最终获得同意后，小明再投，结果第二、三分钟均投中5个。此时引导思考：小明一分钟究竟能投中几个?用哪个数表示他一分钟的成绩比较合适?为什么?
小红第二个出场，结果一分钟投中3个，他会提出怎样的要求?当征得同意后，他第二、第三分钟分别投中4个、5个。引导思考：3次成绩各不相同，用哪个数表示小刚一分钟的个数比较合适?为什么?
小强第三个出场，3分钟各投中3个、7个和2个。此时，又该用哪个数表示他一分钟的水平?为什么?至此，在“移多补少”的直观操作和“先合并再均分”的抽象算法的基础上，揭示平均数，并帮助学生认识到平均数对于描述一组数据的整体水平的意义。
老师最后出场，一开始便提出“水平不行，想投4次”的打算，如果是你，你会同意老师的请求吗?在征得同意后，老师前3分钟的成绩分别是4个、6个、5个，你觉得最后老师会赢得这场比赛吗?为什么?出示第四次成绩(1个)后，学生再度讨论：老师赢了没有?为什么输了?如果最后一次投中5个或者9个，结果会怎样?等等。至此，概念建立告一段落。
回顾上述环节，同样是比赛的主题情境，但其根本立场和视角已然发生转变。其一，由于相关数据是由同一个体所产生，求其总数显然不具备充分的现实意义，而相对来说，从产生的这组数据中选择一个或“另外创造”一个以代表这组数据的一般水平，对学生而言似乎更容易理解。其二，情境中大量充斥着“他想再投两次，该不该给他这个机会?”“老师想多投一分钟，行还是不行?”“你觉得老师最后一定会赢吗?”“最后，老师为什么反而输了?”这样的问题，看似与平均数无关，但实则高度相关。仅以第一问为例，当小明一分钟投完仅得5个时，我们究竟该不该让他再投两分钟?试想，当学生最终通过讨论与思维交锋，同意小明的这一请求时，对学生而言，这究竟意味着什么?--投篮的次数并不是决定最后输赢的关键要素，多次成绩背后所呈现出的一组数据的分布、离散情况及其所反映出的一般水平，才最终决定着一个人的实际水平，并最终决定着他的输赢。试想，经由这样的思考、获得类似的体验后，学生如何能够不对平均数获得更为丰富的理解和把握呢?
同样在对教学内容进行深入思考与内涵开掘后，本课选择了以儿童能够悦纳的一种姿态介入--游戏、讨论、对话、思辨。尽管教师于其中也有竭力想传达和渗透的教学意图和数学内涵，但避开了抽象的说教和示范，而是选择了以一种更具亲和力、更富情境化的思维场域，让学生在思考、交流的过程中去获得相关体验、领悟相关意图、获得某种建构。具有良好数学内涵的课堂，一定是深入浅出的，它能够将教师领悟到的深刻的数学理解以一种平和的、学生可以理解并悦纳的姿态介入课堂活动，并努力在数学内涵与儿童趣味之间找到一种良好的平衡。
作者简介：杨波，女，汉族，出生于1982年3月，中共党员，云南省富源县竹园镇人，小学一级教师，本科文化，西南师范大学汉语言文学专业，现在富源县大河镇脑上小学任教，教学科目为五年级数学。