《整式的运算》教案设计
●课时安排
18课时
第一课时
●课题
§1.1整式
●教学目标
(一)教学知识点
1.在现实情景中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.
2.了解整式产生的背景和整式的概念，能求出整式的次数.
（二）能力训练要求
1.能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，使学生经历对具体问题的探索过程，培养符号感.
2.进一步培养学生认识特殊与一般的辩证关系.
（三）情感与价值观
通过丰富有趣的现实情景，使学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心.
●教学重点
单项式的系数、次数，多项式的项数、次数等概念.
●教学难点
对整式有关概念的理解.
●教学方法
讲授——自主探索相结合.
通过学生自主探索现实情景中用字母表示数的问题，认识代数式的作用.在此基础上，通过教师讲解，掌握整式的有关概念.
●教具准备
1.教师所用三角板. 小黑板
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景，引入新课
［师］在七年级上册中，我们已经学习了用字母表示数，代数式等内容，这节课我们进一步认识代数式的表示作用.
例如：很多小城镇里都有水塔，水塔可以用来储水，维持水压，每天水都不停地流进和流出水塔.一般地，白天，当人们从事生产活动时，流出水塔的水比流进水塔的水多；夜晚，当人们休息时，流进水塔的水比流出的水多.
（1）如果水以每小时a升的速度流进水塔，那么4小时后，流进水塔多少升水，若a=20000升，计算一下结果；
（2）如果水以每小时a升的速度流进水塔，同时又以每小时b升的速度流出水塔，那么4小时后，水塔里的储水量变化了多少？
［生］（1）4小时后，流进水塔的水为4a升；当a=20000升时，4小时后，流进水塔的水为：4a=4×20000=80000升；
（2）4小时后，水塔里的储水量变化了(4a-4b)升.
［师］在上述问题中列出的代数式4a,4a-4b都是整式，这节课我们就来学习整式的概念.
Ⅱ.在实际情景中，明确整式的有关概念
出示投影片（§1.1 A):问题串
小明房间的窗户如图1－1所示，其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）.
图1－1
（1）装饰物所占的面积是多少？
（2）窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？（窗框面积忽略不计）
（3）一个塑料三角尺如图1－2所示，阴影部分所占的面积是 ；
图1－2
（4）某校学生总数为x,其中男生人数占总数的 ，男生人数为 ；
（5）一个长方体的底面是边长为a的正方形，高是h，体积是 .
［师生共析］（1）装饰物是由两个四分之一圆和一个半圆组成，它们的半径相同，由图中的已知条件可知半径为 ,所以装饰物所占的面积恰好是半径为 的一个圆的面积即 ;
(2)窗户中能射进阳光的部分的面积应该是窗户的面积与装饰物所占面积的差即ab- ;
(3)塑料三角尺阴影部分所占的面积是 ab- mn;
(4)男生人数为 x;
(5)这个长方体的体积是a2h.
［师］我们观察上面列出的几个代数式可以发现：4a,, x,a2h等，都是数字与字母的乘积.例如4a是4与a的积， 是 与b2的积， x是 与x的积，a2h是1与a2h的积.像这样的代数式我们把它们都叫做单项式（monomial).其中的数字因式如“4”“ ”“ ”“1”是单项式的.系数.
一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
哪位同学能给我分析一下上面几个单项式的次数呢？
［生］4a的次数是1次； b2的次数是2次； x的次数是1次；a2h的次数是3次.
［师］很好！你能给大家解释一下a2h这个单项式的次数为什么是3次吗？
［生］这是因为a2h这个单项式中含字母a和h.而a的指数是2，h的指数是1，所有字母的指数和当然是1+2=3喽.
［师］这位同学很仔细，h的指数是1，这一点很容易被部分同学误认为是0.h的指数应是1，只不过作为指数时省略不写，你还能回忆起什么时候“1”可以省略不写吗？
［生］“1”作为系数时，“1”作为一个字母的指数时，“1”作为分母时.
［师］同学们总结的很好.
［生］单独的一个数或一个字母是单项式吗？
［师］是.单独的一个字母a,我们可以看成1?a,所以单独的一个字母系数是1，次数也是1，单独的一个非零的数的次数是0.
［生］这就是说，我们学过的所有有理数都是单项式.
［师］是的.
［生］代数式4a－4b,ab－ b2, ab－ mn,它们是什么样的式子呢？
［师］代数式4a－4b是单项式4a,－4b的和，像这样的几个单项式的和所形成的代数式，我们把它叫做多项式.请问：ab－ b2, ab－ mn是哪些单项式的和呢？
［生］ab－ b2这个多项式是ab与－ b2的和； ab－ mn是 ab与－ mn的和.
［师］所以我们说ab－ b2这个多项式有两项，分别是ab,－ b2. x2y+2y－1有几项呢？
［生］ x2y+2y－1有三项，分别是 x2y,2y,－1.
［师］每一项的次数是多少呢？
［生］ x2y次数是3次，2y的次数是1次，－1的次数是0.
［师］在一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.x2y这一项在 x2y+2y－1中次数最高，因此我们把 x2y的次数3作为多项式 x2y+2y－1的次数，即 x2y+2y－1是一个三次三项式.那么ab－ b2,ab－ mn是几次几项式呢？
［生］它们都是二次二项式.
［师］我们刚才讨论了单项式和多项式，而且还知道了单项式的系数、次数；多项式的项数、次数.我们也就知道了整式，因为单项式和多项式统称为整式.研究单项式、多项式就是在研究整式.
在研究单项式和多项式的概念时，我们注意到在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，没有出现2÷x即 ,或x÷2即 这样的式子，那么 , 是整式吗？同学们不妨讨论一下.
［师生共析］ 可以写成 ?x,所以 是单项式，而 是数字与字母的商，所以不是单项式，更不是整式，所以整式最显著的特征是字母不能作分母.
Ⅲ.议一议
出示投影片（§1.1 B)
小红和小兰房间窗户的装饰物如图1－3所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同）.
图1－3
（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计）
（2）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？
［生］左图小红房间的装饰物所占的面积相当于半径为 的圆的面积的一半，即 b2.窗户中能射进阳光的部分的面积为ab－ b2.
右图小兰房间的装饰物所占面积是半径为 的两个小圆的面积，即2× b2= b2.窗户中能射进阳光的部分的面积是ab－ b2.
［生］ab－ b2和ab－ b2它们都是多项式，且次数都是2次.
Ⅳ.练一练
1.随堂练习（课本P4）
下列整式哪些是单项式，哪些是多项式？它们的次数分别是多少？
a,－ x2y,2x－1,x2+xy+y2
解：单项式：a,－ x2y;次数分别是1次和3次.
多项式：2x－1,x2+xy+y2;次数分别是1次和2次.
2.补充练习
（1）下列说法正确的是（ ）
A.单项式A的系数是0
B.单项式a的次数是0
C. 是单项式
D.1是单项式
（2）关于2×103?a,下列说法中正确的是（ ）
A.系数是2，次数是1
B.系数是2，次数是4
C.系数是2×103，次数是0
D.系数是2×103，次数是1
（3）已知出租汽车行驶3千米以内（包括3千米）的车费是7元，以后每行驶1千米，再加1元.如果某人坐出租汽车行驶了m千米（m是整数，且m≥3)，则车费是（ ）
A.(7+m)元 B.（4+m)元
C.（7－m)元 D.（3+m)元
（4）下列各式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些不是整式？
－2a2, xy, (m－n),0, ,1+ ,x2+ +1,x
(5)写出系数是 ，含有字母a、b、c的五次单项式.
解：（1）D（2）D（3）B
（4）单项式：－2a2, xy,0,x;
多项式： (m－n),1+ ；
不是整式： ,x2+ +1
(5)a3bc,a2b2c,a2bc2,ab2c2,ab3c,abc3.
Ⅵ.课时小结
这节课我们主要学习了整式的概念，特别整式中单项式和多项式的次数.在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感.
Ⅶ.课后作业
课本P5习题1.1问题解决1
其它题做为课外作业
Ⅷ.活动与探究
已知多项式3xn－2－2xn－xn+1是四次三项式，则单项式(2－n)xn－1yn+1的系数、次数分别是多少？
［过程］根据多项式次数的定义，可以确定n的值.因为n+1,n,n－2相比较，n+1最大，所以n+1=4,n=3.把n=3代入(2－n)xn－1?yn+1中，单项式的系数、次数都可以确定.
［结果］根据题意，得n+1=4,n=3;把n=3代入(2－n)xn－1yn+1中得单项式－x2y4.所以－x2y4的系数为－1，次数为6次.
●板书设计
§1.1整式
1.单项式：数和字母的积的代数式为单项式
①单项式的系数：单项式中的数字因数；
②单项式的次数：单项式中所有字母的指数和；
③单独的一个数和一个字母也是单项式；
④单独的一个非零数次数是0.
2.多项式：几个单项式的和
在一个多项式中，次数最高项的次数叫做多项式的次数.
3.课堂练习：（由学生口答）